Forscher der WWU tragen bei weltgrößtem Mathematik-Kongress vor

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Gute Aussichten für Sommer 2022: Gustav Holzegel und Thomas Nikolaus, Mitglieder des Exzellenzclusters Mathematik Münster, wurden eingeladen, ihre Forschung beim "International Congress of Mathematicians" (ICM) im Juli in St. Petersburg vorzustellen. Der ICM findet alle vier Jahre statt und ist die älteste, größte und wissenschaftlich wichtigste Veranstaltung in der Mathematik.

Gustav Holzegel wird als "special invited speaker" gemeinsam mit Peter Hintz (ETH Zürich) eine Übersicht über die jüngsten Fortschritte in der allgemeinen Relativitätstheorie geben. Die beiden Mathematiker werden in drei Sektionen vortragen: Geometrie, Partielle Differentialgleichungen und mathematische Physik. Dies zeigt die Relevanz der Arbeit für unterschiedliche mathematische Bereiche - passend zum Cluster-Ziel "Bridging the Gaps", also verschiedene mathematische Richtungen zu verbinden.

Thomas Nikolaus wird in der Sektion Topologie vortragen. Seine Forschung konzentriert sich hauptsächlich auf die Homotopie-Theorie und die algebraische Topologie, betrifft aber auch die Arithmetik und die mathematische Physik. Er arbeitet insbesondere an der (algebraischen) K-Theorie, der topologischen zyklischen Homologie und verschiedenen damit verbundenen Aspekten. Er hat Pionierarbeit bei der Anwendung höherer kategorialer Methoden geleistet, um verschiedene Probleme auf diesem Gebiet anzugehen und zu lösen.

In den untenstehenden Interviews (zum Ausklappen anklicken) geben die beiden Wissenschaftler Einblicke in ihre Forschungsgebiete und ihre Erwartungen an die Konferenz in St. Petersburg.

Was bedeutet die Einladung zum ICM für Sie? Die Einladung ist natürlich eine große Ehre und Anerkennung für meine Arbeit.

Was ist das Besondere an den "special sectional lectures", bei denen Sie vortragen werden? Sie wurden vor einigen Jahren eingeführt, um bestimmte mathematische Gebiete zu präsentieren, die vielleicht nicht genau in eine der Sektionen passen, sondern in mehrere hineinragen. Die Allgemeine Relativitätstheorie ist eng mit partiellen Differentialgleichungen, Geometrie, Mathematischer Physik und Analysis verwandt und eignet sich daher gut für ein solches Format.

Sie werden gemeinsam mit Peter Hintz vortragen. Stellen Sie gemeinsame Ergebnisse vor oder beleuchtet Sie verschiedene Aspekte? Wir beleuchten verschiedene Aspekte aus dem gleichen Forschungsbereich. Peter und ich arbeiten an ähnlichen Problemen mit zum Teil ganz unterschiedlichen Methoden. Die Idee des Vortrags ist es auch, verbindende Elemente zu identifizieren und das Feld der allgemeinen Relativitätstheorie von vielen mathematischen Blickwinkeln aus zu betrachten.

Auf welche Aspekte des ICM freuen Sie sich als Vortragender, und auf welche als Teilnehmer? Es ist toll, ein so großes Publikum zu haben! Ansonsten freue ich mich auf die Vorbereitung des Vortrags gemeinsam mit Peter, auf den Austausch mit vielen Kolleginnen und Kollegen vor Ort und auf interessante Vorträge aus ganz unterschiedlichen Bereichen. In St. Petersburg war ich auch noch nie. Nach der langen Corona-Durststrecke ist so eine Reise natürlich auch aus nicht-mathematischer Sicht spannend! Albert Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie hat unsere Vorstellung vom Universum revolutioniert. Die mathematische Form seiner Gravitationstheorie bilden die sogenannten Einsteinschen Feldgleichungen, ein kompliziertes System von zehn nicht-linearen gekoppelten partiellen Differentialgleichungen an der Schnittstelle zwischen Geometrie und Analysis. Die Gleichungen bilden unter anderem das Fundament der modernen Kosmologie, erlauben die Beschreibung von Gravitationswellen und sagen auch die Existenz schwarzer Löcher vorher.

Die Untersuchung von schwarzen Löchern ist ein Forschungsgebiet, das in den 1960er und 1970er Jahren eine großartige Blüte in der theoretischen Physik erlebte, verbunden mit Namen wie Hawking und Penrose. Durch den mathematischen Fortschritt im Bereich der partiellen Differentialgleichungen sind in den letzten 20 Jahren viele offene Probleme aus dieser Zeit mathematisch zugänglich geworden.

Die Frage nach der dynamischen Stabilität schwarzer Löcher ist so ein Beispiel. Hier will man beweisen, dass die Einstein-Gleichungen kleine Störungen der Geometrie schwarzer Löcher in geometrisch ähnliche Lösungen evolvieren. Vor einiger Zeit ist es mir und meinen Mitarbeitern gelungen, dieses Verhalten für die einfachste Klasse von Lösungen zu beweisen, die schwarze Löcher beschreiben. Der Beweis kombiniert Einsichten aus der ehemaligen "Blütezeit" in der Physik mit modernen mathematischen Methoden der Analysis geometrischer nicht-linearer Differentialgleichungen.

An welchen Fragen arbeiten Sie gerade und warum sind sie interessant und wichtig? Generell versuche ich, die nicht-linearen Einstein-Gleichungen in verschiedenen dynamischen Kontexten zu verstehen also zum Beispiel die Dynamik von schwarzen Löchern oder die von asymptotischen anti-de Sitter Raumzeiten. Das führt zu Fragen, wie sich lineare und nicht-lineare hyperbolische Gleichungen in Raumzeiten mit schwarzen Löchern verhalten. Das ist aus mathematischer Perspektive interessant, weil geometrische Methoden in der Theorie der nicht-linearen partiellen Differentialgleichungen entwickelt werden müssen, um die Dynamik durch Abschätzungen zu kontrollieren.

Mit der Messung von Gravitationswellen steht uns seit einigen Jahren aber auch eine experimentelle Möglichkeit zur Verfügung, aus den gemessenen Wellen-Signalen Rückschlüsse auf schwarze Löcher im Universum zu ziehen. So können wir experimentell und theoretisch über die dynamischen Prozesse in unserem Universum lernen und auch die Gültigkeit und die Grenzen der mathematischen Modelle Überprüfen.

Welches sind die jüngsten Ergebnisse Ihrer Forschung? Im vergangenen April habe ich mit Mihalis Dafermos, Igor Rodnianski und Martin Taylor nach langer Zeit einen Beweis der Stabilität der Schwarzschild-Lösung fertiggestellt. Die dabei entwickelten Methoden lassen sich auch auf andere dynamische Probleme anwenden. Daran arbeiten wir gerade.

Was bedeutet die Einladung zum ICM für Sie? Ich habe mich sehr über die Einladung gefreut, insbesondere weil sie nicht nur meine persönliche Arbeit, sondern auch mein Forschungsfeld würdigt, welches ein relativ junges Gebiet ist.

Können Sie dieses Arbeitsgebiet kurz allgemein vorstellen? Ich forsche im Gebiet der "higher algebra", was man auf Deutsch mit "höher-kategorieller Algebra" Übersetzen könnte. Dieses Gebiet liegt auf der Grenze zwischen zwei klassischen mathematischen Gebieten: der Algebra und der Topologie.

In der Algebra werden "algebraische" Objekte betrachtet, wie zum Beispiel Polynomgleichungen oder Ringe. Ringe sind Mengen, in denen man ähnlich rechnen kann wie in den ganzen Zahlen. Das heißt, dass man Elemente addieren und multiplizieren kann.

In der Topologie geht es um Eigenschaften geometrischer Objekte, zum Beispiel Flächen im Raum, welche invariant unter stetiger Deformation sind. Das bedeutet, man kann die Flächen beliebig verformen, quetschen oder Ähnliches, darf sie aber nicht zerreißen. Auf die Art ist zum Beispiel die Oberfläche einer Kaffeetasse mit Henkel äquivalent zu einem Donut.

In meinem Arbeitsgebiet werden diese Aspekte gemischt: Ich studiere Objekte, die gleichzeitig eine topologische Struktur haben, sich also verformen lassen, und für deren Elemente zusätzlich Addition und Multiplikation definiert ist. Die Subtilität dabei ist, dass die gewöhnlichen Rechenregeln selbst deformiert werden. Zum Beispiel ist dann a + b nicht notwendigerweise gleich b + a, sondern nur in einem schwächeren Sinne äquivalent. Diese Objekte werden Ringspektren genannt und tauchen in verschiedenen topologischen und algebraischen Fragen und Anwendungen auf.

Ringspektren sind sehr kompliziert, daher ist es erst seit der systematischen Entwicklung der höheren Kategorientheorie ca. Ende der 2000er Jahre möglich, effektiv damit zu arbeiten und klassische algebraische Methoden von Ringen auf Ringspektren zu verallgemeinern.

Die Vision, konkrete geometrische Fragestellungen mittels Ringspektren zu untersuchen, geht allerdings bis mindestens in die 1970er Jahre auf den Mathematiker Friedhelm Waldhausen zurück, welcher dieses Gebiet etwas provokant als "brave new algebra" bezeichnet hat.

Worüber werden Sie auf dem ICM vortragen? Konkret werde ich über eine Verallgemeinerung des sogenannten Frobenius-Homomorphismus in die "höher-kategoriellen Algebra", also für Ringspektren, sprechen und Anwendungen diskutieren.

Die Existenz des klassischen Frobenius-Homomorphismus ist ein zentraler Baustein im heutigen Verständnis von Ringen. Entsprechend wichtig ist es, ihn auch für Ringspektren zu definieren und zu studieren. Ich werde in meinem Vortrag, der auf verschiedenen Arbeiten der letzten Jahre basiert, erklären, wie man diesen konstruieren kann und wie dieser verallgemeinerte Frobenius-Homomorphismus mit verschiedenen aktuellen Fragestellungen zusammenhängt, z.B. mit Berechnungen in algebraischer K-Theorie.

An welchen Fragen arbeiten Sie gerade und welches sind die jüngsten Ergebnisse Ihrer Forschung? Aktuell versuche ich, neben verschiedenen neuen Berechnungen in algebraischer K-Theorie auch eine Verallgemeinerung der sogenannten Segal-Vermutung zu beweisen. Falls diese Verallgemeinerung richtig ist, führt dies zu diversen Anwendungen, unter anderem zu einer Klassifikation von topologischen Räumen durch stabile Koalgebren.

Ein anderes Projekt, welches ich seit einiger Zeit mit verschiedenen Koautoren verfolge, ist die Berechnung der stabilen Kohomologie verschiedener arithmetischer Gruppen wie zum Beispiel der orthogonalen oder symplektischen Gruppen über Z. Über viele Jahre haben wir Methoden entwickelt, die es ermöglichen, diese Berechnung auf zugänglichere Berechnungen im Gebiet der K-Theorie zurückzuführen. Auf diese Art können wir diese Kohomologiegruppen mittlerweile vollständig, zumindest an regulären Primzahlen, beschreiben.

Auf welche Aspekte des ICM freuen Sie sich als Vortragender, und auf welche als Teilnehmer? Ich freue mich sehr darauf, die gesamte Breite und Gemeinschaft der mathematischen Forschung vereint zu sehen. Normalerweise sind die Konferenzen und Tagungen, die wir besuchen auf ein sehr kleines Teilgebiet der Mathematik beschränkt. Daher ist der ICM etwas ganz Besonderes. Außerdem bin ich sehr gespannt darauf zu sehen, welche neuen und aufregenden Resultate und Forschungsrichtungen dort präsentiert werden.

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